题目内容

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（3，0），B（1，0），且与y轴交于点C（0，-3），精英家教网点P是抛物线AC间上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A、C不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP是直角三角形时，直接写出点P的坐标；
（3）求线段PD的最大值，并求最大值时P点的坐标；
（4）在问题（3）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）利用待定系数法直接求出函数的解析式；
（2）△ADP是直角三角形时，点P的坐标有2个．
（3）要求出PD的最值，首先要求出AC的解析式，最后把长度表示出来，根据二次函数的顶点坐标求出来
（4）因为题目在（3）的条件下确定了P点坐标，利用平行四边形对角线所分得的三角形全等而求出F的纵坐标来求出F的坐标
解答：解：（1）由题意得：
0=9a+3b+c
0=a+b+c
-3=c
，
解得：
a=-1
b=4
c=-3
．
∴该抛物线的函数关系式为：y=-x2+4x-3；

（2）设过A、C两点的直线解析式为：y=kx+b，
∵A（3，0），C（0，-3），

P点的坐标为：P1（1，0），P2（2，1）；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意得
0=3k+b
-3=b
，
解得：
k=1
b=-3
．
∴直线AC的解析式为y=x-3．
设P（x，-x2+4x-3）则D（x，x-3），
PD=-x2+4x-3-（x-3）
=-(x-
3
2
)2+
9
4
，精英家教网
∴PD的最大值为
9
4
，P（
3
2
，
3
4
）；

（4）当APXF是平行四边形时，则：△APE≌△XFE，
∴这两个三角形的高相等，
∵P（
3
2
，
3
4
），
∴F的纵坐标为-
3
4
，
∴F(
4+
7
2
， -
3
4
)或(
4-
7
2
， -
3
4
)．
当F点与P点关于抛物线的对称轴对称时，A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形．F（
5
2
，
3
4
），
∴点F的坐标为：(
4+
7
2
， -
3
4
)或(
4-
7
2
， -
3
4
)或（
5
2
，
3
4
）．
点评：本题是一道二次函数的综合运用的试题，考查了运用待定系数法求函数的解析式．直角三角形的性质，函数的最值，二次函数顶点式的运用，平行四边形的性质．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的函数解析式；
（3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过A（-1，0）精英家教网、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标．
（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①当x的取值范围满足条件
-2＜x＜0
-2＜x＜0
时，y＜-3；
     ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
（3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
（4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网