Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：

①当x＞0时，y＞0；

②若a＝﹣1，则b＝4；

③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；

④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6．

其中真命题的序号是（　　）

A. ①B. ②C. ③D. ④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根据二次函数所过象限，判断出y的符号；

②根据A、B关于对称轴对称，求出b的值；

③根据＞1，得到x1＜1＜x2，从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1＞y2；

④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．求出D、E、D′、E′的坐标即可解答．

①当x＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误；

②二次函数对称轴为x＝﹣ ，当a＝﹣1时有 ＝1，解得b＝3，故本选项错误；

③∵x1+x2＞2，

∴ ＞1，

又∵x1﹣1＜0＜x2﹣1，

∴Q点距离对称轴较远，

∴y1＞y2，故本选项正确；

④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，

连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．

当m＝2时，二次函数为y＝﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为y＝﹣1+2+3＝4，D为（1，4），则D′为（﹣1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，﹣3）；

则DE＝ ；D′E′＝ ；

∴四边形EDFG周长的最小值为 ，故本选项错误．

故选：C．