题目内容

几何解答题
（1）如图，延长线段AB到C，使BC=

AB，D为AC的中点，DC=2，求AB的长．
（2）如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
①如图1，若CE恰好是∠ACD的角平分线，请直接回答此时CD是否是∠ECB的角平分线？
②如图2，若∠ECD=α，CD在∠BCE的内部，请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等？并简述理由；
③在②的条件下，请问∠ECD与∠ACB的和是多少？并简述理由．

分析：（1）由D为AC的中点，根据DC的长求出AC的长，再由AB=2BC，求出AB在AC中占的份数，即可求出AB的长；
（2）①由∠ACD为直角，且CE为角平分线，得到一对角相等，再由∠ECB为直角，确定出∠ECD=∠DCB，即可确定出CD为角平分线；
②∠ACE=∠DCB，理由为：由∠ACD与∠ECB都为直角，利用同角的余角相等即可得证；
③两角之和为180°，理由为：延长BC，延长线为BE，由邻补角定义得到∠ACG+∠ACB=180°，再利用同角的余角相等得到∠ECD=∠ACG，即可得证．

解答：

解：（1）∵D为AC的中点，DC=2，
∴AC=2DC=4，
∵BC=

AB，
∴AB=

AC=

；

（2）①∠ACD=90°，CE为∠ACD的平分线，
∴∠ACE=∠ECD=45°，
∵∠ECB=90°，
∴∠ECD=∠DCB=45°，
∴CD平分∠ECB；
②∠ACE=∠DCB，理由为：
∵∠ACE+∠ECD=90°，∠DCB+∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠DCB；
③延长BC，延长线为BG，
∵∠ACG+∠ACE=90°，∠ECD+∠ACE=90°，
∴∠ECD=∠ACG，
∴∠ECD+∠ACB=∠ACG+∠ACB=180°．

点评：此题考查了角的计算，角平分线定义，是一道基本题型．