Question

【题目】如图①，在中，，是边上任意一点（点与点，不重合），以为一直角边作，，连接，.若和是等腰直角三角形.

（1）猜想线段，之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；

（2）现将图①中的绕着点顺时针旋转，得到图②，请判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）BE=AD，BE⊥AD ；（2）BE=AD，BE⊥AD仍然成立，理由见解析

【解析】

（1）由CA=CB，CE=CD，∠ACB=90°易证△BCE≌△ACD，所以BE=AD，∠BEC=∠ADC，又因为∠EBC+∠BEC=90°，所以∠EBC+∠ADC=90°，即BE⊥AD；
（2）成立．设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，易证△ACD≌△BCE．得到AD=BE，∠CAD=∠CBE．再根据等量代换得到∠AFG+∠CAD=90°．即BE⊥AD．

（1）BE=AD，BE⊥AD；

在△BCE和△ACD中，

∵，

∴△BCE≌△ACD(SAS)，

∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，

∵∠EBC+∠BEC=90°，

∴∠EBC+∠ADC=90°，

∴BE⊥AD.

故答案为：BE=AD，BE⊥AD.

（2）BE=AD，BE⊥AD仍然成立

设BE与AC的交点为F，BE与AD的交点为G，如图

∴，

∴.

在和中，

∵

∴.

∴

∵，

∴，

，

∴BE⊥AD