题目内容

如图，矩形OABC，A（5，0），C（0，3）．直线y=kx交折线A-B-C于点P，点A关于OP的对称点A′
（1）当A′恰好在CB边上时，C A′=
4
4
，k=
1
3
1
3

（2）k=
3
3
3
3
时，经过O、A、A′的抛物线恰好以A′为顶点，该抛物线的解析式是
y=-
2
5
3
x(x-5)或y=-
2
5
3
(x-
5
2
)2+
5
2
3
y=-
2
5
3
x(x-5)或y=-
2
5
3
(x-
5
2
)2+
5
2
3

（3）若P在AB边上，A′在CB上方时，A′O、A′P交CB边于点E，F．求k为何值时△A′EF≌△BPF？并说明理由．
（4）以OP为直径作⊙M，则⊙M与矩形OABC最多有
6
6
个公共点，并写出公共点个数最多时k的取值范围
11
60
＜k＜
60
91
且k≠
3
5
11
60
＜k＜
60
91
且k≠
3
5
（直接写答案）
分析：（1）如图1，连接OA′，AA′．设A′（x，3）．
根据矩形的性质，点的坐标与图形的性质以及勾股定理求得CA′=4，然后结合A（5，0）求得AA′的中点D的坐标是（4.5，1.5），从而求得k的值；
（2）因为该抛物线经过点O、A，故可设交点式函数解析式y=ax（x-5）（a＜0）．由顶点坐标公式求得A′的坐标，结合轴对称的性质来求a的值；
（3）根据全等三角形的对应边相等和对应角相等、勾股定理以及正切函数的定义来求k的值．
（4）根据题意，画出图形，根据图形回答问题．
解答：解：（1）如图1，连接OA′，AA′．设A′（x，3）（0＜x＜5）．
∵在矩形OABC中，A（5，0），C（0，3），
∴OA=5，OC=3．
∵点A与点A′关于直线OP对称，
∴OA′=OA=5，
∴在Rt△OCA′中，利用勾股定理知，CA′=
OA′2-OC2
=
52-32
=4，
即C A′=4，
∴A′（4，3），
∴线段AA′的中点D的坐标是（4.5，1.5）在直线OP上，
∴k=
1.5
4.5
=
1
3
．

（2）∵该抛物线经过点O、A，
∴可设交点式函数解析式y=ax（x-5）（a＜0），即y=a（x-
5
2
）2-
25
4
a．
∵该抛物线以点A′为顶点，
∴A′（
5
2
，-
25
4
a）．
∴kAA′=
-
25
4
a
5
2
-5
=
5
2
a，线段AA′的中点的坐标是（
15
4
，-
25
8
a）．
又∵点A与点A′关于直线OP对称，
∴线段AA′的中点的坐标是（
15
4
，-
25
8
a）在直线OP上，
则
5
2
a•k=-1
k=
-
25
8
a
15
4
，
解得，
a=-
2
5
3
k=
3
3
，
∴该抛物线的解析式是y=-
2
5
3
x(x-5)或y=-
2
5
3
(x-
5
2
)2+
5
2
3
；

（3）当k=
3
7
时，△A′EF≌△BPF．理由如下：
如图2，设P（5，y）．∵点A与点A′关于直线OP对称，
∴△OAP≌△OA′P，
∴AP=A′P，OA=OA′=5．
∵△A′EF≌△BPF，
∴A′F=FB，A′E=BP，∠A′=∠B=90°，∠A′EF=∠BPF，
∴∠CEO=∠BPF，
∴
3
5-PF-BF
=
BF
3-y
PF2=BF2+(3-y)2
y=PF+BF
，
解得，y=
15
7
，则k=
15
7
5
=
3
7
；

 （4）如图3，最多有6个交点，k的取值范围是：
11
60
＜k＜
60
91
且k≠
3
5
．
当0＜k＜
11
60
时，有4个共同点
k=
11
60
或
60
91
时，有5个共同点；
k=
3
5
时，有4个共同点．
故答案是：4，
1
3
；
3
7
；k=
3
3
，y=-
2
5
3
x(x-5)或y=-
2
5
3
(x-
5
2
)2+
5
2
3
；6，
11
60
＜k＜
60
91
且k≠
3
5
．
点评：本题考查了二次函数综合题．注意，方程组的解法的应用．
练习册系列答案
相关题目
如图，矩形OABC的边OA、OC在坐标轴上，经过点B的双曲线的解析式为y=
k
x
(x＜0），M为OC上一点，且CM=2OM，N为BC的中点，BM与AN交于点E，若四边形EMCN的面积为
13
4
，则k=
 
．
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13、如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1的坐标为（　　）
（2012•绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2-4x-2经过A，B两点．
（1）求A点坐标及线段AB的长；
（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．
①当PQ⊥AC时，求t的值；
②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．
如图，矩形OABC在平面直角坐标系内（O为坐标原点），点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（-2，2
3
），点E是BC的中点，点H在OA上，且AH=
1
2
，过点H且平行于y轴的HG与EB交于点G，现将矩形折叠，使顶点C落在HG上，并与HG上的点D重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点．

（1）求∠CEF的度数和点D的坐标；
（2）求折痕EF所在直线的函数表达式；
（3）若点P在直线EF上，当△PFD为等腰三角形时，试问满足条件的点P有几个，请求出点P的坐标，并写出解答过程．
如图，矩形OABC的顶点B点坐标为（3，2），点D是BC的中点．
（1）将△ABD向左平移3个单位，则点D的对应点E的坐标为
（-
3
2
，0）
（-
3
2
，0）
；
（2）若点E在双曲线y=
k
x
上，则k的值为
-3
-3
，直线OE与双曲线的另一个交点F的坐标是
（
3
2
，-2）
（
3
2
，-2）
；
（3）若在y轴上有一动点P，当点P运动到何处时PB+PF的值最小？求出此时的P点坐标．

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