题目内容

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45 °

，则有结论EF＝BE＋FD成立；

(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是B

CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(2)若将(1)中的条件改为：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

答案：
解析：

　　解：(1)结论EF＝ BE＋FD成立．　　1分

　　延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．

　　∵∠ABG＝∠D＝90°，

　　AB＝AD，

　　∴△ABG≌△ADF．

　　∴AG＝AF且∠1＝∠2．

　　∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠BAD

　　∴∠GAE＝∠EAF．

　　又AE＝AE，

　　∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．

　　即EF＝BE＋BG＝BE＋FD　　4分

　　(2)结论EF＝BE＋FD不成立，

　　应当是EF＝BE－FD　　5分

　　在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．

　　∵∠B＋∠ADC＝180°，

　　∠ADF＋∠ADC＝180°，

　　∴∠B＝∠ADF．

　　∵AB＝AD，

　　∴△ABG≌△ADF．

　　∴AG＝AF．

　　∵∠1＝∠2，

　　∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠BAD

　　∴∠GAE＝∠EAF．

　　∵AE＝AE，

　　∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF

　　即EF＝BE－BG＝BE－FD　　9分


练习册系列答案
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6
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3
．
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2
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