Question

12．已知△ABC是等边三角形，点D是BC边所在直线上的一个动点，以AD为边，作等边△ADE（点E始终在直线AD的右方），连接CE．
（1）当点D在BC边上，求证：BC=DC+CE；
（2）当点D在BC的延长线上时，BC=DC+CE是否成立，请说明理由；
（3）当点D在CB的延长线上时，上述结论是否成立？若不成立，请你画出符合条件的图形，并直接写出成立的结论．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，由△ABD≌△ACE就可以得出BC=DC+CE；
（2）不成立，由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BC+CD=CE；
（3）不成立，由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出CE+BC=CD．

解答 解：（1）∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD．
（2）不成立，BC+CD=CE成立．
理由如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵BD=BC+CD，
∴CE=BC+CD；
（3）不成立，DC=CE+BC成立．
理由如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵DC=BD+BC，
∴DC=CE+BC．
符合条件的图形如图所示：

点评 本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．