Question

【题目】已知：如图，点E为正方形ABCD边BC上一动点，连接AE，并将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF．过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．

（1）求证：△ABE≌△EGF；

（2）连接CF，延长FE交AB的延长线于点H．探究线段BH，BC，CF之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）连接AF交CD于M，若BH＝1，CF＝3．求AM的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CF2＝2BHBC，理由见解析；（3）

【解析】

（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE＝EF，利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等；

（2）结论：CF2＝2BHBC．证明△ABE∽△EBH，可得EB2＝ABBH，再证明BE＝FG＝CG即可解决问题．

（3）作FK⊥AB于K，交CD于M．由FN∥AD，推出，求出AD，FN，AF即可解决问题．

（1）证明：∵EF⊥AE，

∴∠AEB+∠GEF＝90°，

又∵∠AEB+∠BAE＝90°

∴∠GEF＝∠BAE，

又∵FG⊥BC，

∴∠ABE＝∠EGF＝90°，

在△ABE与△EGF中，

，

∴△ABE≌△EGF（AAS）；

（2）结论：CF2＝2BHBC．

理由：∵∠AEH＝∠ABE＝∠EBH＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠BEH＝90°，

∴∠BEH＝∠EAB，

∴△ABE∽△EBH，

∴ ，

∴EB2＝ABBH，

∵△ABE≌△EGF，

∴AB＝EG，BE＝FG，

∵AB＝BC，

∴BC＝EG，

∴BE＝CG，

∴FG＝CG，

∴CF2＝FG2+CG2＝2FG2，

∴CF2＝2BHBC．

（3）作FK⊥AB于K，交CD于M．

∵CF2＝2BHBC，CF＝3，BH＝1，

∴BC＝9，

∵FG＝CG＝FN＝CN＝3，CD＝BC＝AD＝AB＝9，

∴AK＝DN＝6，

在Rt△AKF中，AF＝，

∵FN∥AD，

.