Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，线段AD由线段AB绕点A逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，当直线EF恰好经过点D时，CG的长等于_____．

Answer 1

【答案】5

【解析】

连接AE，如图，利用勾股定理计算出AB＝2，根据旋转的性质得到∠BAD＝90°，AD＝AB＝2，根据平移的性质得到EF∥AB，AE＝CG，AE∥CG，接着证明四边形ACGE为矩形得到∠EAC＝90°，然后证明Rt△ADE∽Rt△ACB，利用相似比求出AE，从而得到CG的长．

解：连接AE，如图，

在Rt△ABC中，AB＝＝2，

∵线段AD由线段AB绕点A逆时针方向旋转90°得到，

∴∠BAD＝90°，AD＝AB＝2，

∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，当直线EF恰好经过点D时，

∴EF∥AB，AE＝CG，AE∥CG，

而∠ACB＝90°，

∴四边形ACGE为矩形，

∴∠EAC＝90°，

∵FD∥AB，

∴∠ADE＝90°，

∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，

∴∠1＝∠3，

∴Rt△ADE∽Rt△ACB，

∴，即，解得AE＝5，

∴CG＝5．

故答案为5．