Question

【题目】已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；

（2）在（1）的条件下，若DE：AE：CE=1： ：3，求∠AED的度数；
（3）若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF= ，求CN的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：CE=AF；

在正方形ABCD，等腰直角三角形CEF中，FD=DE，CD=CA，∠ADC=∠EDF=90°

∴∠ADF=∠CDE，

∴△ADF≌△CDE，

∴CE=AF

（2）

证明：设DE=k，

∵DE：AE：CE=1： ：3

∴AE= k，CE=AF=3k，

∴EF= k，

∵AE2+EF2=7k2+2k2=9k2，AF2=9k2，

即AE2+EF2=AF2

∴△AEF为直角三角形，

∴∠BEF=90°

∴∠AED=∠AEF+DEF=90°+45°=135°

（3）

证明：∵M是AB中点，

∴MA= AB= AD，

∵AB∥CD，

∴ = ，

在Rt△DAM中，DM= = =2 ，

∴DO= ，

∵OF= ，

∴DF= ，

∵∠DFN=∠DCO=45°，∠FDN=∠CDO，

∴△DFN∽△DCO，

∴ ，

∴ ，

∴DN= ，

∴CN=CD﹣DN=4﹣ =

【解析】（1）由正方形额等腰直角三角形的性质判断出△ADF≌△CDE即可；（2）设DE=k，表示出AE，CE，EF，判断出△AEF为直角三角形，即可求出∠AED；（3）由AB∥CD，得出 = ，求出DM，DO，再判断出△DFN∽△DCO，得到 ，求出DN即可．