题目内容
已知a，b为正整数，且满足
，则a+b= ．
【答案】分析：首先根据关系式
，故令设a+b=4k，a2+ab+b2=49k（k是正整数）．根据这两式与一元二次方程根与系数的关系，可求得k的取值范围．再就k的取值范围讨论a有意义得取值．进而求得a+b的值．
解答：解：
，
设a+b=4k，a2+ab+b2=49k （k是正整数），
则b=4k-a，
那么：a2+ab+b2=a2+a（4k-a）+（4k-a）2=a2-4ka+16k2=49k，
即：a2-4ka+16k2-49k=0，
a是正整数，则方程有正整数解，
△=（4k）2-4（16k2-49k）=196k-48k2≥0，
4k（49-12k）≥0，
k≤
，而k是正整数
∴1≤k≤4
又∵a=
，且a为正整数
∴
为整数
当k=1时，
=
；
当k=2时，
=
；
当k=3时，
=2
；
当k=4时，
=4；
∴k=4，
此时a=
，
即a=10 或 a=6，
若a=10，则b=4×4-10=6，
若a=6，则b=4×4-6=10，
∴a+b=16．
故答案为：16．
点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系．解决本题的关键是设a+b=4k，a2+ab+b2=49k （k是正整数），转化为一元二次方程根与系数的关系来解决．
，故令设a+b=4k，a2+ab+b2=49k（k是正整数）．根据这两式与一元二次方程根与系数的关系，可求得k的取值范围．再就k的取值范围讨论a有意义得取值．进而求得a+b的值．解答：解：
，设a+b=4k，a2+ab+b2=49k （k是正整数），
则b=4k-a，
那么：a2+ab+b2=a2+a（4k-a）+（4k-a）2=a2-4ka+16k2=49k，
即：a2-4ka+16k2-49k=0，
a是正整数，则方程有正整数解，
△=（4k）2-4（16k2-49k）=196k-48k2≥0，
4k（49-12k）≥0，
k≤
，而k是正整数∴1≤k≤4
又∵a=
，且a为正整数∴
为整数当k=1时，
=
；当k=2时，
=
；当k=3时，
=2
；当k=4时，
=4；∴k=4，
此时a=
，即a=10 或 a=6，
若a=10，则b=4×4-10=6，
若a=6，则b=4×4-6=10，
∴a+b=16．
故答案为：16．
点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系．解决本题的关键是设a+b=4k，a2+ab+b2=49k （k是正整数），转化为一元二次方程根与系数的关系来解决．
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