Question

【题目】请将宽为3cm、长为ncm的长方形（n为正整数）分割成若干小正方形，要求小正方形的边长是正整数且个数最少．例如，当n＝5cm时，此长方形可分割成如右图的4个小正方形．

请回答下列问题：

（1）n＝16时，可分割成几个小正方形？

（2）当长方形被分割成20个小正方形时，求n所有可能的值；

（3）一般地，n＞3时，此长方形可分割成多少个小正方形．

Answer 1

【答案】（1）可分割成8个小正方形；（2）n所有可能的值为60或52或53；（3）当n＞3时，此长方形可分割成小正方形为：当n＝3k时，有k个小正方形；当n═3k+1时，有（k+3）个小正方形；当n＝3k+2时，有（k+3）个小正方形．

【解析】

根据题意，继续画图分析并总结规律，然后再解决下列问题即可.

（1）根据以上结论即可求解；

（2）根据以上结论即可求解；

（3）根据总结规律整理到一起即可．

解：若n=4=3×1+1时,如下图所示,此时共有4=(1+3)个小正方形

若n=7=3×2+1时,如下图所示,此时共有5=(2+3)个小正方形

由上可知:当n等于3的k倍加1时，小正方形的个数为（k+3）个，即当n═3k+1时，有（k+3）个小正方形;

若n=5=3×1+2时,如下图所示,此时共有4=(1＋3)个小正方形

若n=8=3×2+2时,如下图所示,此时共有5=(2＋3)个小正方形

由上可知: 当n等于3的k倍加2时，小正方形的个数为（k+3）个，即当 n＝3k+2时，有（k+3）个小正方形;

若n=6=3×2时,如下图所示,此时共有2个小正方形

若n=9=3×3时,如下图所示,此时共有3个小正方形

由上可知: 当n等于3的k倍时，小正方形的个数为k个，即 n＝3k时，有k个小正方形；

（1）n＝16＝3×5＋1时，可分割成5＋3=8个小正方形；

（2）当长方形被分割成20个小正方形时，

若n＝3k时，此时k=20，代入解得：n=60；

若n═3k+1时，此时k+3=20，解得k=17，代入解得：n═52；

若n＝3k+2时，此时k+3=20，解得k=17，代入解得：n═53.

综上所述：n所有可能的值为60或52或53；

（3）由上可知：当n＞3时，此长方形可分割成小正方形为：

当n＝3k时，有k个小正方形；

当n═3k+1时，有（k+3）个小正方形；

当n＝3k+2时，有（k+3）个小正方形．