Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x²＋bx＋c经过点A(0，1)、B（3，）两点，BC⊥x轴，垂足为C．点P是线段AB上的一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．

(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)连结AM、BM，设△AMB的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)连结PC，当t为何值时，四边形PMBC是菱形．（10分）

Answer 1

（1）   (2)； 当
（3）四边形PMBC为菱形。

试题分析：（1）已知抛物线y＝－x²＋bx＋c经过点A(0，1)、B（3，）两点，那么，解得，所以此抛物线的函数表达式是
（2）BC⊥x轴，垂足为C．点P是线段AB上的一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交X轴于D点；，而，；M、P点的横坐标相同，由（1）知抛物线的解析式是，所以M的纵坐标为；由题知A0=1，BC=，OD=t，CD=OC-OD=3-t,DM=,所以=
+-=，
设△AMB的面积为S，= ，要使有最大值，那么当且仅当，即当
（3）四边形PMBC是菱形，则PM=PC=BC，而由题知BC=，PM=PC=BC=，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t，M的纵坐标为，MD=，PD=MD-MP=-=，在中，由勾股定理得，即，解得，所以四边形PMBC为菱形
点评：本题考查抛物线，求最值，菱形，要求学生掌握用待定系数法求抛物线的解析式，会用配方法求二次函数的最值，掌握菱形的性质，本题问题多，所涉及的知识面广，计算量比较大，但总体难度不大