题目内容
如图，矩形ABCD，AB=6cm，AD=2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A-B-C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的
；（2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为
？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）要使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的
，此时点P应在AB上，才是四边形．根据路程=速度×时间，分别用t表示BP、CQ的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；
（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑．
解答：
解：（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的
．
根据题意，得BP=6-2t，CQ=t，矩形的面积是12．
则有
（t+6-2t）×2=12×
，
解得t=
；
（2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为
．
①当0＜t≤3时，则有（6-2t-t）2+4=5，
解得t=
或
；
②当3＜t≤4时，则有（8-2t）2+t2=5，
得方程5t2-32t+59=0，
此时△＜0，此方程无解．
综上所述，当t=
或
时，点P与点Q之间的距离为
．
点评：此题是一道动态题，有一定的难度，综合运用了一元二次方程的知识和勾股定理．
，此时点P应在AB上，才是四边形．根据路程=速度×时间，分别用t表示BP、CQ的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑．
解答：
解：（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的
．根据题意，得BP=6-2t，CQ=t，矩形的面积是12．
则有
（t+6-2t）×2=12×
，解得t=
；（2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为
．①当0＜t≤3时，则有（6-2t-t）2+4=5，
解得t=
或
；②当3＜t≤4时，则有（8-2t）2+t2=5，
得方程5t2-32t+59=0，
此时△＜0，此方程无解．
综上所述，当t=
或
时，点P与点Q之间的距离为
．点评：此题是一道动态题，有一定的难度，综合运用了一元二次方程的知识和勾股定理．
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