题目内容

已知面积为32cm²的平面凸四边形中一组对边与一条对角线之长的和为16 cm．试确定另一条对角线的所有可能的长度．

解：设四边形ABCD面积S为32cm²，并设AD=y，AC=x，BC=z．
则x+y+z=16（cm）
由S= $\text{[math]}$ xysinθ+ $\text{[math]}$ xzsinφ|sinθ|≤1，|sinφ|≤1
有：S≤ $\text{[math]}$ xy+ $\text{[math]}$ xz= $\text{[math]}$ x（y+z）= $\text{[math]}$ x（16-x）= $\text{[math]}$ 【64-（x-8）²】≤32
但S=32，∴sinθ=1，sinφ=1，且x-8=0．故θ=ω= $\text{[math]}$ ，
且x=8，y+z=8．
这时易知：另一条对角线BD的长为 $\text{[math]}$ =8 $\text{[math]}$ cm．
分析：四边形ABCD的面积可以分成△ACD与△ABC的面积的和，这两个三角形的面积可以利用∠θ，∠φ表示，根据三角函数的性质即可求解．
点评：本题主要考查了四边形的面积的计算，把求解的问题转化为三角函数问题是解决本题的关键．