题目内容

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm，长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1（cm/s）的速度向点B运动（运动开始时点M与点A重合），过M、N分别作AB的垂线交直角边于P、Q两点（如图），设线段MN运动的时间为t（s）时，△BNQ的面积为ycm²．
（1）求出y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当MN运动几秒钟后，y最大，最大值为多少？
（3）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由．

解：（1）作CH⊥AB于H，
∵∠C=90°，∠A=60°，AC=4cm
∴AB=8，AH=2，CH=2 $\text{[math]}$ ，
①当0≤t≤1时点P，Q均在AC上，在Rt△ANQ中，
∵∠A=60°，AN=t+1，
∴NQ×tan60°= $\text{[math]}$ （t+1），
又BN=AB-AM-MN=8-t-1=7-t，
∴y= $\text{[math]}$ BN•NQ= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ （t+1）×（7-t）=- $\text{[math]}$ （t²-6t-7）；
②当1＜t≤7时，点Q在BC上，在Rt△BNQ中，
∵∠QBN=30°，BN=7-t，
∴NQ=BN×tan30°= $\text{[math]}$ （7-t），
∴y= $\text{[math]}$ BN•NQ= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ （7-t）×（7-t）= $\text{[math]}$ （7-t）²，
综上所述∴ $\text{[math]}$ ；

（2）当0≤t≤1时，二次函数y=- $\text{[math]}$ （t²-6t-7）=- $\text{[math]}$ [（t-3）²-16]，
其对称轴为t=3，开口向下，
当t≤3时y随t的增大而增大，
故知当t=1时，y最大，其最大值为6 $\text{[math]}$ cm²，
又二次函数y= $\text{[math]}$ （7-t）²在1＜t≤7时，y随t的增大而减小，
而t=1时，亦有y= $\text{[math]}$ ，
综上所述，线段MN运动1（s）后即达到最大值，其最大值为6 $\text{[math]}$ cm²；

（3）若四边形MNQP为矩形，必需PM=QN，点P在AC上，点Q在BC上，
在Rt△BNQ中，NQ=BN×tan30°= $\text{[math]}$ （7-t），
在Rt△APM中，PM=AM×tan60°= $\text{[math]}$ t，
由PM=QN，得 $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ （7-t），
∴t= $\text{[math]}$ ，
∴当t= $\text{[math]}$ （s）时，四边形MNQP为矩形．
分析：（1）本题要分两种情况进行讨论：
①当Q在AC上运动时即当0≤t≤1时，可在直角三角形ANQ中，根据∠A的度数和AN的长表示出NQ的长，进而可根据三角形的面积公式得出y，t的函数关系式；
②当Q在BC上运动时即当1＜t≤7时，先根据AN的长表示出BN的值，然后在直角三角形BNQ中，根据∠CBN的度数求出NQ的长，然后同①；
（2）可根据（1）得出的函数的性质，求出y的最大值及对应的t的值；
（3）若要四边形PMNQ成为矩形，必须满足的条件是MP=QN，此时P在AC上，Q在BC上，可在直角三角形AMP和BNQ中分别用t表示出MP和NQ的长，然后根据MP=NQ求出t的值．
点评：本题考查了直角三角形的性质、二次函数的应用、矩形的判定等知识．综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．