题目内容
如图，直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连结BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；
（2）将等边△AOB沿x轴翻折，B点的对称点为B′．
①点B′会落在直线DE上么？请说明理由；
②随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求直接写出点E的坐标；若有变化，请说明理由．
如图，直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连结BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）△OBC与△ABD全等，理由如下：
：∵△AOB是等边三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，
又∵△CBD是等边三角形
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
，
∴△OBC≌△ABD（SAS）．
（2）①点B'会落在直线DE上．
由（1）得，∠BAD=∠AOB=60°，
从而得∠CAD=60°，所以∠OAE=60°．
所以∠OAB=∠OAE，
所以，点B'会落在直线DE上．
②∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，AE=2OA=2，
∴OE=
=
，
∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，）．
分析：（1）△OBC与△ABD全等，由等边△AOB和等边△CBD得到全等条件；
（2）①点B'会落在直线DE上，通过证明所以∠OAB=∠OAE即可；②根据（1）容易得到∠OAE=60°，然后在中根据直角三角形30°，所对的直角边等于斜边的一半可以得到AE=2，从而得到E的坐标是固定的．
点评：此题把全等三角形的性质与判定和一次函数的图象结合起来，利用全等三角形的性质和判定求坐标，有一定综合性．
：∵△AOB是等边三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，
又∵△CBD是等边三角形
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
，∴△OBC≌△ABD（SAS）．
（2）①点B'会落在直线DE上．
由（1）得，∠BAD=∠AOB=60°，
从而得∠CAD=60°，所以∠OAE=60°．
所以∠OAB=∠OAE，
所以，点B'会落在直线DE上．
②∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，AE=2OA=2，
∴OE=
=
，∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，
）．分析：（1）△OBC与△ABD全等，由等边△AOB和等边△CBD得到全等条件；
（2）①点B'会落在直线DE上，通过证明所以∠OAB=∠OAE即可；②根据（1）容易得到∠OAE=60°，然后在中根据直角三角形30°，所对的直角边等于斜边的一半可以得到AE=2，从而得到E的坐标是固定的．
点评：此题把全等三角形的性质与判定和一次函数的图象结合起来，利用全等三角形的性质和判定求坐标，有一定综合性．
练习册系列答案
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