Question

【题目】如图，在中，，动点从点出发， 在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，设运动时间为秒，连接．

若，求的值；

若与相似，求的值；

当为何值时，四边形的面积为

Answer 1

【答案】（1）（2）当t=或t=时，△MBN与△ABC相似．（3）当或时，四边形的面积是

【解析】

（1）由已知条件得出AB=10，BC= 由题意知：BM=2t，CN=，BN= 由BM=BN得出方程2t=解方程即可；

（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值； ②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；

（3）利用四边形的面积等于的面积减去的面积列方程求解即可．

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，

∴∠B=30°， ∴AB=2AC=10，BC=

由题意知：BM=2t，CN=

∴BN=

∵BM=BN，

∴2t=

解得：

（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，

则

即

解得：

②当△NBM∽△ABC时，

则

即

解得：

综上所述：当t=或t=时，△MBN与△ABC相似．

（3）由（1）知：∠ACB=90°，AC=5，AB=2AC=10，BC=

过作于，

又

四边形的面积为，

解得：

即当或时，四边形的面积为．