Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：

（1）D是BC的中点；

（2）△BEC∽△ADC；

（3）BC2=2AB·CE．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】试题分析：（1）由AB是直径，圆周角定理可得∠ADB=90°，即AD⊥BC，再根据等腰三角形的性质即可证得；

（2）欲证△BEC∽△ADC，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠AEB=∠ADC=90°，再根据公共角即可证得；

（3）由△BEC∽△ADC可证CDBC=ACCE，又D是BC的中点，AB=AC，即可证BC2=2ABCE．

证明：（1）∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴D是BC的中点；

（2）∵AB是直径，

∴AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

又∵∠C=∠C，

∴△BEC∽△ADC；

（3）∵△BEC∽△ADC，

∴=，

∴BCCD=ACCE，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴CD=BC，

∴BCBC=ABCE，

即BC2=2ABCE.