Question

AB是⊙的直径，AD与⊙相交，点C是⊙上一点，经过点C的直线交AD于点E.

⑴如图1 ，若AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，求证：CE是⊙的切线；

⑵如图2，若CE是⊙的切线，CE⊥AD于点E，AC是∠BAD的平分线吗？说明理由；

⑶如图3，若CE是⊙的切线，AC平分∠BAD，AB=8，AC=6，求AE的长度.

Answer 1

⑴证明：连接OC

∵OA=OC  ∴∠OAC=∠OCA  ∵AC平分∠BAD  ∴∠OCA=∠CAD  

∴OC∥AD                     

∵CE⊥AD    ∴CE⊥OC            

又OC是半径   ∴CE是⊙的切线。     

⑵解：AC是∠BAD的平分线                

理由：连接OC

     ∵CE是⊙的切线   ∴CE⊥OC       ∵CE⊥AD  ∴OC∥AD

∴∠OCA=∠CAD                      

∵OA=OC      ∴∠OAC=∠OCA

∴∠OCA=∠CAD    即：AC是∠BAD的平分线   

⑶解：连接OC、BC

∵CE是⊙的切线   ∴CE⊥OC

∵是⊙的直径  ∴∠ACB=90⁰

∴∠ACE=∠OCB

∵OB=OC      ∴∠B=∠OCB

∴∠B=∠ACE                       

∵AC平分∠BAD    ∴△ABC∽△ACE      

∴     即：   解得：