题目内容
如图，由于水资源缺乏，B、C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A、B、C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于D；在图③中，OA=OB=OC．为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案
分析：可以分别计算出图①、②、③中的线路总长分别为2a、（
+1）a、
a，然后比较大小．
| ||
| 2 |
| 3 |
解答：解：在①中AB+AC=2a；
在②中，BC=a，DA=
a，
∴共（
+1）a；
在③中，
∵△ABC是等边三角形，OA=OB=OC，
∴点O是△ABC的内心．
过点O作OD⊥AC，
∴
∠OAD=30°，
则AD=
AC=
×a=
，
∴OA=
=
=
a，
∴OA=OB=OC=
a，
∴共
a．
∵2a＞（
+1）a＞
a，
∴第③种方案线路最短．
在②中，BC=a，DA=
| ||
| 2 |
∴共（
| ||
| 2 |
在③中，
∵△ABC是等边三角形，OA=OB=OC，
∴点O是△ABC的内心．
过点O作OD⊥AC，
∴
∠OAD=30°，则AD=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| a |
| 2 |
∴OA=
| AD |
| cos∠OAD |
| ||||
|
| ||
| 3 |
∴OA=OB=OC=
| ||
| 3 |
∴共
| 3 |
∵2a＞（
| ||
| 2 |
| 3 |
∴第③种方案线路最短．
点评：解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，把实际问题抽象到三角形中，利用三角函数进行解题．
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