Question

如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？ 若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标。

Answer 1

解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2）， ∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2， 将A（4，0），B（1，0）代入， 得， 解得， ∴此抛物线的解析式为；
（2）存在， 如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为， 当1＜m＜4时，AM=4-m，-2， ∵∠COA=∠PMA=90°， ∴①当时， △APM∽△ACO， 即4-m=2， 解得m1=2，m2=4（舍去）， ∴P（2，1）； ②当时， △APM∽△CAO， 即， 解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去）， ∴当1＜m＜4时，P（2，1）， 类似地可求出当m>4时，P（5，-2）， 当m<1时，P（-3，-14）， 综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）或（-3，-14）；
（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为， 过D作y 轴的平行线交AC于E， 由题意可求得直线AC的解析式为， ∴E点的坐标为， ∴ ∴ ∴当t=2时，△DAC的面积最大， ∴D（2，1）。