Question

已知点O是平面直角坐标系的原点，直线y=-x+m+n与双曲线交于两个不同的点A（m，n）（m≥2）和B（p，q）．直线y=-x+m+n与y轴交于点C，求△OBC的面积S的取值范围．

Answer 1

解：如图，C点坐标为（0，m+n），D点坐标为（m+n，0），则△OCD为等腰直角三角形，
∴点A与点B关于直线y=x对称，则B点坐标为（n，m），
∴S=S_△OBC=（m+n）•n=mn+n²，
∵点A（m，n）在双曲线上，
∴mn=1，即n=
∴S=+（）²
∵m≥2，
∴0＜≤，
∴0＜（）²≤，
∴＜S≤．
分析：先确定直线y=-x+m+n与坐标轴的交点坐标，即C点坐标为（0，m+n），D点坐标为（m+n，0），则△OCD为等腰直角三角形，根据反比例函数的对称性得到点A与点B关于直线y=x对称，则B点坐标为（n，m），根据三角形面积公式得到S_△OBC=（m+n）•n，然后mn=1，m≥2确定S的范围．
点评：本题考查了反比例函数图象与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了一次函数的性质．