题目内容

已知：关于x的一元二次方程mx2-（2m+2）x+m-1=0
（1）若此方程有实根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根；
（3）若A、B是平面直角坐标系中x轴上的两个点，点B在点A的左侧，且点A、B的横坐l标分别是（2）中方程的两个根，以线段AB为直径在x轴的上方作半圆P，设直线的解析l式为y=x+b，若直线与半圆P只有两个交点时，求出b的取值范围．
分析：（1）根据根的判别式直接得出△=（2m+2）2-4m（m-1）=12m+4≥0求出即可；
（2）利用（1）中所求得出m的值，进而代入方程求出即可；
（3）①当直线l 经过原点O时与半圆P有两个交点，即b=0，
②当直线l与半圆P相切于D点时有一个交点，如图由题意可得Rt△EDP、Rt△ECO是等腰直角三角形，进而求出b的最值大值即可．
解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程，m≠0，
∵关于x的一元二次方程有实根，
∴△=（2m+2）2-4m（m-1）=12m+4≥0，
解得m≥-
1
3
，
∴当m≥-
1
3
且 m≠0时此方程有实根；

（2）
∵在（1）的条件下，当m取最小的整数
∴m=1，
∴原方程化为：x2-4x=0，
x（x-4）=0，
解得：x1=0，x2=4；

（3）解：如图所示：①当直线l经过原点O时与半圆P有两个交点，即b=0，
②当直线l与半圆P相切于D点时有一个交点，
∵y=x+b，当b=0则y=x，故可得Rt△EDP、Rt△ECO是等腰直角三角形，
∵DP=2，∴EP=
22+22
=2
2
．
∴OC=2
2
-2，即b=2
2
-2，
∴当0≤b＜2
2
-2时，直线l与半圆P只有两个交点．
点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解法和勾股定理以及切线的性质等知识，利用数形结合得出b的最值是解题关键．
练习册系列答案
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已知：关于x的一元二次方程mx2-（2m+n）x+m+n=0①．
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5、已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（　　）
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（1）求m的值；
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（2012•延庆县二模）已知：关于x的一元二次方程mx2-（2m+2）x+m-1=0
（1）若此方程有实根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根；
（3）在（2）的前提下，二次函数y=mx2-（2m+2）x+m-1与x轴有两个交点，连接这两点间的线段，并以这条线段为直径在x轴的上方作半圆P，设直线l的解析式为y=x+b，若直线l与半圆P只有两个交点时，求出b的取值范围．

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