Question

【题目】如图在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM＝PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC＝45°时，BN＝BC，其中正确的是（　　）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

可先证明Rt△MBC和Rt△NBC，由斜边中点可判定①正确，由△AMB∽△ANC可判定②错误，证点M，N，B，C共圆，可对③进行判断，证△BNC为以BC为斜边的等腰直角三角形，可判断④正确．

解：∵BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，P为BC边的中点，

∴点P是Rt△MBC和Rt△NBC的斜边的中点，

∴MP＝NP＝BC，

故①正确；

∵BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，

∴∠AMB＝∠ANC＝90°，

又∵∠A＝∠A，

∴△AMB∽△ANC，

∴，

故②错误；

∵BM⊥AC于点M，CN⊥AC于点N，P为BC边的中点，

∴点P是Rt△MBC和Rt△NBC的斜边的中点，

∴MP＝NP＝BP＝CP＝BC，

∴点M，N，B，C共圆，

∴∠NPM＝2∠ABM，

在Rt△ABM中，∠A＝60°，

∴∠ABM＝30°，

∴∠NPM＝60°，

∵PN＝PM，

∴△PMN是等边三角形，

故③正确；

当∠ABC＝45°时，△BNC为以BC为斜边的等腰直角三角形，

∴BN＝BC，

故④正确；

故选：C．