Question

当a＞0且x＞0时，因为(

x

-

a

x

)2≥0，所以x-2

a

+

a

x

≥0，从而x+

a

x

≥2

a

（当x=

a

时取等号）．记函数y=x+

a

x

(a＞0，x＞0)，由上述结论可知：当x=

a

时，该函数有最小值为2

a

．
（1）已知函数y₁=x（x＞0）与函数y2=

1

x

(x＞0)，则当x=

1

时，y₁+y₂取得最小值为

2

．
（2）已知函数y₁=x+1（x＞-1）与函数y2=(x+1)2+4(x＞-1)，求

y2

y1

的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．

Answer 1

分析：（1）可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果．
（2）先得出

y2

y1

的表达式，然后将（x+1）看做一个整体，继而再运用所给结论即可．

解答：解：（1）∵函数y=x+

a

x

(a＞0，x＞0)），由上述结论可知：当x=

a

时，该函数有最小值为2

a

．
∴函数y₁=x（x＞0）与函数y2=

1

x

(x＞0)，则当x=

1

=1，即x=1时，y₁+y₂取得最小值为2．
故答案是：1；2．

（2）∵已知函数y₁=x+1（x＞-1）与函数y₂=（x+1）²+4（x＞-1），
∴

y2

y1

=

(x+1)2+4

x+1

=(x+1)+

4

x+1

(x＞-1)，
∴

y2

y1

有最小值为2

4

=4．
当x+1=

4

，即x=1时取得该最小值．
检验：x=1时，x+1=2≠0，
故x=1是原方程的解．
所以，

y2

y1

的最小值为4，相应的x的值为1．

点评：此题考查了二次函数的应用，题目出的比较新颖，解答本题的关键是仔细审题，理解题意所给的结论，达到学以致用的目的．