知识迁移当a＞0且x＞0时.因为(x-ax)2≥0.所以x-2a+ax≥0.从而x+ax≥2a(当x=a)是取等号)．记函数y=x+ax．由上述结论可知:当x=a时.该函数有最小值为2a．直接应用已知函数y1=x与函数y2=1x.则当x=11时.y1+y2取得最小值为22．变形应用已知函数y1=x+1与函数y2=(x+1)2+4.求y2y1的最小值.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

（2012•盐城）知识迁移
当a＞0且x＞0时，因为(

x

-

a

x

)2≥0，所以x-2

a

+

a

x

≥0，从而x+

a

x

≥2

a

（当x=

a

）是取等号）．
记函数y=x+

a

x

（a＞0，x＞0）．由上述结论可知：当x=

a

时，该函数有最小值为2

a

．
直接应用
已知函数y₁=x（x＞0）与函数y₂=

1

x

（x＞0），则当x=

1

1

时，y₁+y₂取得最小值为

2

2

．
变形应用
已知函数y₁=x+1（x＞-1）与函数y₂=（x+1）²+4（x＞-1），求

y2

y1

的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？

分析：直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果．
变形运用：先得出

y2

y1

的表达式，然后将（x+1）看做一个整体，继而再运用所给结论即可．
实际运用：设行驶x千米的费用为y，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所给的结论即可得出答案．

解答：解：直接应用：
∵函数y=x+

a

x

（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x=

a

时，该函数有最小值为2

a

．
∴函数y₁=x（x＞0）与函数y₂=

1

x

（x＞0），则当x=1时，y₁+y₂取得最小值为2．
变形应用
已知函数y₁=x+1（x＞-1）与函数y₂=（x+1）²+4（x＞-1），
则

y2

y1

=

(x+1) 2+4

x+1

=（x+1）+

4

x+1

的最小值为：2

4

=4，
∵当（x+1）+

4

x+1

=4时，
整理得出：x²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1，
检验：x=1时，x+1=2≠0，
故x=1是原方程的解，
故

y2

y1

的最小值为4，相应的x的值为1；
实际应用
设行驶x千米的费用为y，则由题意得，y=360+1.6x+0.001x²，
故平均每千米的运输成本为：

y

x

=0.001x+

360

x

+1.6=0.001x+

0.36

0.001x

+1.6，
由题意可得：当0.001x=

0.36

时，

y

x

取得最小，此时x=600km，
此时

y

x

≥2

0.36

+1.6=2.8，
即当一次运输的路程为600千米时，运输费用最低，最低费用为：2.8元．
答：汽车一次运输的路程为600千米，平均每千米的运输成本最低，最低是2.8元．

点评：此题考查了二次函数的应用及几何不等式的知识，题目出的比较新颖，解答本题的关键是仔细审题，理解题意所给的结论，达到学以致用的目的．

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