Question

在△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB所对的边b，c满足：b+c-4（b+c）+8=0.

    （1）证明：△ABC是边长为2的等边三角形.

    （2）若 b，c两边上的中线BD，CE交于点O，求OD：OB的值.

Answer 1

（1）证明：∵ b+c-4（b+c）+8=0

∴ （b-2）+（c-2）=0                                                   1分

∵ （b-2）≥0，（c-2）≥0，

∴ （b-2）=（c-2）=0

∴ b=c=2                                                                             2分

∵ ∠A=60°

∴ △ABC是边长为2的等边三角形                                     3分

（2）∵ AB=BC且BD是AC边上的中线

∴ BD⊥AC，∠DBC=∠ABC=30°

同理∠ECB=∠ECA=30°

∴ ∠DBC=∠ECB

∴ OB=OC                                                                           5分

由已知：BD⊥AC，∠ECA=30°，OB=OC，

∴ OB=OC=2OD

∴ OD：OB=1：2                                                                6分