Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=6，CD⊥AB于点D，点E是BC的中点，连接AE，AE与CD交于点F，则AF的长为

2

．

Answer 1

分析：过点F作FH⊥AC于H，则FH∥BC，所以△AFH∽AEC，设FH为x，由已知条件可证明△AHF是等腰直角三角形，所以AF=

2

x，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值即可得到AF的长．

解答：解：过点F作FH⊥AC于H，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴FH∥BC，
∴△AFH∽AEC，
∴

AF

AE

=

FH

CE

，
∵AC=3，BC=6，点E是BC的中点，
∴AC=CE=3，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴∠EAC=45°，AE=

32+32

=3

2

∴AH=FH，
设FH为x，则AH=x，∴AF=

2

x，
∴

2 x

3 2

=

x

3

，
解得：x=1，
∴AF=

2

，
故答案为：

2

．

点评：本题考查了相似是局限性的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是做垂直，构造相似三角形．