题目内容

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（-1，0）．与反比例函数y= $数学公式$ 在第一象限内的图象交于点B（2，n），连接OB，若△AOB的面积为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求反比例函数与一次函数的关系式；
（Ⅱ）若P（a，y₁），Q（-3，y₂）是反比例函数y= $数学公式$ 图象上的两点，且y₁＞y₂，求实数a的取值范围．

解：（Ⅰ）∵点A（-1，0），点B（2，n），
∴S_△AOB= $\text{[math]}$ •1•n= $\text{[math]}$ ，解得n=3，
∴B点坐标为（2，3），
把B（2，3）代入y= $\text{[math]}$ 得m=2×3=6，
把A（-1，0）、B（2，3）代入y=kx+b得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴一次函数的关系式为y=x+1；
（Ⅱ）∵当a＞0，且y₁＞y₂；
∵当a＜0时，a＜-3时，y₁＞y₂，
∴实数a的取值范围为a＞0或a＜-3．
分析：（1）先根据三角形面积公式可计算出n，得到B点坐标为（2，3），然后利用待定系数法确定两个函数的解析式；
（2）分类讨论：当P点与Q点不在同一象限，则a＞0，且y₁＞y₂；当P点与Q点在同一象限，即a＜0，根据反比例函数的性质得到在每一象限，y随x的增大而减小，所以a＜-3时，y₁＞y₂．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．