Question

【题目】将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A（，0），B（0，1），O（0，0）．

（1）点P为边OA上一点（点P不与A，O重合），沿BP将纸片折叠得A的对应点A′．边BA′与x轴交于点Q．

①如图1，当点A′刚好落在y轴上时，求点A′的坐标．

②如图2，当A′P⊥OA，若线段OQ在x轴上移动得到线段O′Q′（线段OQ平移时A′不动），当△A′O′Q′周长最小时，求OO′的长度．

（2）如图3，若点P为边AB上一点（点P不与A，B重合），沿OP将纸片折叠得A的对应点A″，当∠BPA″＝30°时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）①A'（0，﹣1）；②1﹣；（2）P（，）．

【解析】

（1）①先利用勾股定理求出，利用折叠求出，再利用线段的和差求出即可得出结论；

②先由折叠求出，进而求出，即可求出，求出点的坐标，从而求出直线的解析式，求出OQ的长度，最后用等腰三角形的三线合一即可得出结论；

（2）先求出，再构造直角三角形，建立方程即可求出结论.

（1）

，由勾股定理得

①由折叠知，

；

②

由折叠知，

∴直线的解析式为

令，得，

∵线段OQ在x轴上移动得到线段（线段OQ平移时不动），要周长最小

则是的垂直平分线，P是垂足，

；

（2）如图，在中，

由折叠知，

过点P作于G

在中，

设

在中，

在中，

又

解得

故点P的坐标为.