Question

如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠B＝∠D．

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)若AB＝3 cm，BC＝5 cm，AE＝AB，点P从B点出发，以1 cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？

Answer 1

答案：
解析：

解答：(1)证明：在△ABC和△CDA中 　　 　　∴△ABC≌△CDA， 　　∴AD＝BC，AB＝CD， 　　∴四边形ABCD是平行四边形． 　　(2)答：从运动开始经过2 s或s或s或s时，△BEP为等腰三角形． 　　解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3， 　　由勾股定理得：AC＝4， 　　即AB、CD间的最短距离是4， 　　设经过ts时，△BEP是等腰三角形， 　　当P在BC上时， 　　①BE＝BP＝2， 　　t＝2时，△BEP是等腰三角形； 　　②BP＝PE， 　　作PM⊥AB于M， 　　∵cosB＝＝＝， 　　∴BP＝， 　　t＝时，△BEP是等腰三角形； 　　③BE＝PE＝2，作EN⊥BC于N， 　　∴cosB＝＝， 　　∴＝， 　　BN＝， 　　∴BP＝， 　　t＝时，△BEP是等腰三角形； 　　当P在CD上不能得出等腰三角形， 　　∵AB、CD间的最短距离是4，CA⊥AB，CA＝4， 　　当P在AD上时，只能BE＝EP＝2， 　　过P作PQ⊥BA于Q， 　　∵平行四边形ABCD， 　　∴AD∥BC， 　　∴∠NAD＝∠ABC， 　　∵∠BAC＝∠N＝90°， 　　∴△QAP∽△ABC， 　　∴PQ∶AQ∶AP＝4∶3∶5， 　　设PQ＝4x，AQ＝3x， 　　在△EPQ中，由勾股定理得：(3x＋1)2＋(4x)2＝22， 　　∴x＝， 　　AP＝5x＝， 　　∴t＝5＋5＋3－＝， 　　点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定．全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 　　分析：(1)根据全等三角形判定证△ABC≌△CDA即可； 　　(@)求出AC，当P在BC上时，①BE＝BP＝2，②BP＝PE，作PM⊥AB于M，根据cosB求出BP，③BE＝PE＝2，作EN⊥BC于N，根据cosB求出BN；当P在CD上不能得出等腰三角形；当P在AD上时，过P作PN⊥BA于N，证△NAP∽△ABC，推出PN∶AN∶AP＝4∶3∶5，设PN＝4x，AN＝3x，在△EPN中，由勾股定理得出方程(3x＋1)2＋(4x)2＝22，求出方程的解即可．