Question

如图，正比例函数y=

1

2

x的图象与反比例函数y=

k

x

（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；    
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上找一点P，使PA+PB最小．求P点坐标？

Answer 1

分析：（1）根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为函数的系数和△OAM的面积为1可得k=2，即反比例函数的解析式为 y=

2

x

．
（2）由正比例函数 y=

1

2

x的图象与反比例函数 y=

k

x

（k≠0）在第一象限的图象交于A点求得A为（2，1）．要使PA+PB最小，需作出A点关于x轴的对称点C，并连接BC，交x轴于点P，P为所求点．A点关于x轴的对称点C（2，-1），而B为（1，2），故BC的解析式为y=-3x+5，即可求得P点的坐标．

解答：解：（1）设A点的坐标为（a，b），则 b=

k

a

∴ab=k
∵

1

2

ab=1，∴

1

2

k=1
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为 y=

2

x

．（3分）

（2）根据题意画出图形，如图所示：
得

2

x

=

1

2

x，解得x=2或x=-2，
∵点A在第一象限，
∴x=2
把x=2代入y=

2

x

得y=1，
∴A为（2，1）（4分）
设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，-1）．
令直线BC的解析式为y=mx+n
∵B点的横坐标为1，
B为反比例函数在第一象限图象上的点，
∴xy=2，
∴y=2，
∴B为（1，2），
将B和C的坐标代入得：

2m+n=-1 m+n=2

，
解得：

m=-3 n=5

 
∴BC的解析式为y=-3x+5（6分）
当y=0时，x=

5

3

，
∴P点为（

5

3

，0）．（7分）

点评：本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、轴对称等知识及综合应用知识、解决问题的能力．有点难度．