Question

【题目】如图，已知抛物线 y＝x2+2x 的顶点为 A，直线 y＝x+2 与抛物线交于 B，C 两点．

（1）求 A，B，C 三点的坐标；

（2）作 CD⊥x 轴于点 D，求证：△ODC∽△ABC；

（3）若点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M，则是否还存在除 C 点外的其他位置的点，使以 O，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 若存在，请求出这样的 P 点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（﹣2，0），C（1，3）；（2）见解析；（3）存在这样的点 P，坐标为（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣5，15）．

【解析】

（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）根据勾股定理可得∠ABC＝90°，进而可求△ODC∽△ABC.

（3）设出p点坐标，可表示出M点坐标，利用三角形相似可求得p点的坐标．

（1）解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，

∴顶点 A（﹣1，﹣1）；

由 ，解得：或

∴B（﹣2，0），C（1，3）；

（2）证明：∵A（﹣1，﹣1），B（﹣2，0），C（1，3），

∴AB＝ ，

BC＝ ，

AC＝，

∴AB2+BC2＝AC2，，

∴∠ABC＝90°，

∵OD＝1，CD＝3，

∴=，

∴，∠ABC＝∠ODC＝90°，

∴△ODC∽△ABC；

（3）存在这样的 P 点，设 M（x，0），则 P（x，x2+2x），

∴OM＝|x|，PM＝|x2+2x|，

当以 O，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似时，

有或 ，

由（2）知：AB＝ ，CB＝，

①当时，则 ＝， 当 P 在第二象限时，x＜0，x2+2x＞0，

∴，解得：x1＝0（舍），x2＝ -， 当 P 在第三象限时，x＜0，x2+2x＜0，

∴＝ ，解得：x1＝0（舍），x2＝-，

②当时，则 ＝3， 同理代入可得：x＝﹣5 或 x＝1（舍），

综上所述，存在这样的点 P，坐标为（-，-）或（-，）或（﹣5，15）．