Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙O₁的直径OA在x轴上，O₁A=2，直线OB交⊙O₁于点B，∠BOA=30°，P为经过O、B、A三点的抛物线的顶点．
（1）求点P的坐标；
（2）求证：PB是⊙O₁的切线．

Answer 1

分析：（1）已知了圆的半径，即可得出A点的坐标；连接O₁B，过点B作BC⊥x轴于点C，可在构建的直角三角形O₁BC中，根据BO₁C的度数和圆的半径求出B点坐标，进而可根据O、A、B三点坐标求出抛物线的解析式，即可得出P点坐标．
（2）证PB是⊙O₁的切线，就是证O₁B⊥PA，本题主要利用勾股定理进行秋季．可根据O₁，P，B三点坐标，分别求出O₁P、PB的长，然后用勾股定理进行判断即可．也可求出直线BP与x轴的交点（设为D）的坐标，然后在三角形O₁BD中，用勾股定理验证．道理一样．

解答：（1）解：如图，
连接O₁B，过点B作BC⊥x轴于点C
∵∠BOA=30°，半径O₁A=2，
∴∠BO₁C=60°，O₁C=1，BC=

3

∴点B坐标为（3，

3

）．
设过O（0，0），A（4，0）两点抛物线解析式为y=ax（x-4），
∵点B（3，

3

）在抛物线上，
∴

3

=a×3×（3-4），
∴a=-

3

3

，
∴抛物线的解析式为y=-

3

3

x²+

4 3

3

x，
∴顶点P的坐标为（2，

4 3

3

）．

（2）证明：设过P（2，

4 3

3

）、B（3，

3

）两点直线的解析式为y=kx+b，
则

4 3 3 =2k+b 3 =3k+b

k=- 3 3 b=2 3

，
∴直线的解析式为y=-

3

3

x+2

3

，
令y=0，则x=6，
∴直线PB与x轴的交点坐标为D（6，0），
∴OD=6，CD=3，O₁D=3+1=4，
∵OB=2

3

∴BD=2

3

，
∴O₁B²+BD²=2²+（2

3

）²=16=O₁D²
∴O₁B²+BD²=O₁D²
∴O₁B⊥BD，
即PB是⊙O₁的切线．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、切线的判断等知识．