Question

（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．
（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．
（2）如图2，AC：AB=1：

3

，EF⊥CE，求EF：EG的值．

Answer 1

分析：（1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据AC：AB=1：2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根据正弦函数的定义得出EQ=

1

2

BE，在△AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=

3

2

AE，又BE=AE，进而求出EF：EG的值．

解答：（1）证明：如图1，
在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，
∴∠CAD=∠B=90°-∠ACB．
∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，
∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，
∴AC=BE．
在△ACD与△BEF中，

∠CAD=∠B ∠ADC=∠BFE=90° AC=BE

，
∴△ACD≌△BEF，
∴CD=EF，即EF=CD；

（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，
∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，
∴四边形EQDH是矩形，
∴∠QEH=90°，
∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEG，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，
∴△EFQ∽△EGH，
∴EF：EG=EQ：EH．
∵AC：AB=1：

3

，∠CAB=90°，
∴∠B=30°．
在△BEQ中，∵∠BQE=90°，
∴sin∠B=

EQ

BE

=

1

2

，
∴EQ=

1

2

BE．
在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，
∴cos∠AEH=

EH

AE

=

3

2

，
∴EH=

3

2

AE．
∵点E为AB的中点，∴BE=AE，
∴EF：EG=EQ：EH=

1

2

BE：

3

2

AE=1：

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．