Question

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点，连结PA、PB、PC、PD．
（1）如图，设PD²=x，当x=

 

时，∠PAB=60°；
（2）若△PAD是等腰三角形，求PA的长度．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形,勾股定理,正方形的性质

专题：

分析：（1）由AB是直径，可得∠APB=90°，然后利用勾股定理即可求得PA的长；
（2）分别从当PA=PD，PA=AD，AD=PD时，△PAD是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案．

解答：解：（1）过点E作PE⊥AD于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB=4，
若∠PAB=60°，则需∠PAD=30°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∴∠ABP=30°，
∴PA=

1

2

AB=2，
∴PE=

1

2

PA=1，
∴AE=

PA2-PE2

=

3

，
∴DE=AD-AE=4-

3

，
∴PD²=PE²+DE²=20-8

3

；
故答案为：20-8

3

；

（2）①当PA=PD时，
此时P位于四边形ABCD的中心，
过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
则四边形EAMP是正方形，
∴PM=PE=

1

2

AB=2，
∵PM²=AM•BM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2

2

，
②当PA=AD时，PA=4；
③当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．
连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，
则△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，
∴AG=2OG，
设AG为2x，OG为x，
∴（2x）²+x²=4，
∴x=

2 5

5

，
∴AG=2x=

4 5

5

，
∴PA=2AG=

8 5

5

；
∴PA=2

2

或4或

8 5

5

．

点评：此题考查了正方形的性质，圆周角的性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，解题时要注意数形结合与方程思想的应用．