题目内容

16．如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为y cm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论：
①AE=6cm；
②当0＜t≤10时，y=$\frac{2}{5}$t2；
③直线NH的解析式为y=-5t+110；
④若△ABE与△QBP相似，则t=$\frac{29}{4}$秒，
其中正确结论的个数为（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个

分析 ①观察图2得出“当t=10时，点P、E重合，点Q、C重合；当t=14时，点P、D重合”，结合矩形的性质以及线段间的关系即可得出AE=6，即①正确；②设抛物线OM的函数解析式为y=ax2，由点M的坐标利用待定相似法即可求出结论，由此得出②成立；③通过解直角三角形求出线段AB的长度，由此可得出点H的坐标，设直线NH的解析式为y=kt+b，由点N、H点的坐标利用待定系数法即可得出直线NH的解析式，由此得出③成立；④结合①的结论可得出当0＜t≤10时，△QBP为等腰三角形，结合③可得出△ABE为边长比为6：8：10的直角三角形，由此可得出④不成了．综上即可得出结论．

解答 解：①观察图2可知：
当t=10时，点P、E重合，点Q、C重合；
当t=14时，点P、D重合．
∴BE=BC=10，DE=14-10=4，
∴AE=AD-DE=BC-DE=6，
∴①正确；
②设抛物线OM的函数解析式为y=ax2，
将点（10，40）代入y=ax2中，
得：40=100a，解得：a=$\frac{2}{5}$，
∴当0＜t≤10时，y=$\frac{2}{5}$t2，②成立；
③在Rt△ABE中，∠BAE=90°，BE=10，AE=6，
∴AB=$\sqrt{B{E}^{2}-A{E}^{2}}$=8，
∴点H的坐标为（14+8，0），即（22，0），
设直线NH的解析式为y=kt+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{40=14k+b}\\{0=22k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-5}\\{b=110}\end{array}\right.$，
∴直线NH的解析式为y=-5t+110，③成立；
④当0＜t≤10时，△QBP为等腰三角形，
△ABE为边长比为6：8：10的直角三角形，
∴当t=$\frac{29}{4}$秒时，△ABE与△QBP不相似，④不正确．
综上可知：正确的结论有3个．
故选C．

点评 本题考查了二次函数图象、待定系数法求函数解析式以及勾股定理，解题的关键是结合函数图象逐项分析4条结论是否成立．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．

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时间x（天）24
每天产量y（吨）2428
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