Question

【题目】（1）如图1，四边形中，，，点分别在边上，且，求证：.

（2）如图2，四边形中，，点在边上，连接，平分交于点，，，连接.

①找出图中与相等的线段，并加以证明；

②求的度数（用含的式子表示）.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①FN；②90°-α．

【解析】

（1）如图，将△EFA绕点E逆时针旋转∠FEH的度数得到△EHQ．证明△BEA≌△BEQ（SAS）即可解决问题．

（2）①证明△NEF≌△NEH（SAS）即可．

②如图，在GH上取一点P，使得NP=NH，连接NP．作NQ⊥PH于Q，NO⊥GF交GF的延长线于O．由角平分线的性质证明EM=EN即可解决问题．

（1）如图2中，将△EFA绕点E逆时针旋转∠FEH的度数得到△EHQ．

∴FA=QH，

∵，∠EFA=∠EHQ，

∴∠EHG+∠EHQ=180°，

∴D，H，Q共线，

∵∠AEQ=∠BAD，∠AEB=∠FEH，

∴∠AEB =∠BEQ，

∵EA=EQ，EB=EB，

∴△EAB≌△EQB，

∴AB=QB，

∵FA=QH，

∴AB=HB+HQ=HB+FA．

（2）①如图，结论：FN=HN．

理由：∵EN平分∠FEH，

∴∠NEF=∠NEH，

∵FE=EH，EN=EH，

∴△NEF≌△NFH（SAS），

∴FN=HN．

②如图，在GH上取一点P，使得NP=NH，连接NP．作NQ⊥GH于Q，NO⊥GF交GF的延长线于O．

∵△NFE≌△NHE，

∴∠ENF=∠ENH，

∴∠MNH=180°-α-α=180°-2α，

∵∠FGH=180°-2α，

∴∠FGH=∠MNH，

∵∠MNH+∠FNH=180°，

∴∠FGH+∠FNH=180°，

∴∠GFN+∠GHN=180°，

∵NP=NH，

∴∠NPH=∠NHP，

∵∠NPH+∠GPN=180°，

∴∠GFN=∠GPN，

∴∠NPQ=∠NFO，

∵NF=NP=NH，∠O=∠NQP=90°，

∴△NQP≌△NOF，

∴NO=NQ，

∵NO⊥GO，NQ⊥GH，

∴GN平分∠FGH，

∴∠NGH=（180°-2α）=90°-α．