Question

7．如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=-x的图象分别为直线l₁，l₂，过点（1，0）作x轴的垂线交l₁于点A₁，过点A₁作y轴的垂线交l₂于点A₂，过点A₂作x轴的垂线交l₁于点A₃，过点A₃作y轴的垂线交l₂于点A₄，…依次进行下去，则点A₂₀₁₅的坐标为（-2¹⁰⁰⁷，-2¹⁰⁰⁸）．

Answer 1

分析 根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、A₇、A₈等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“A_4n+1（2²ⁿ，2²ⁿ⁺¹），A_4n+2（-2²ⁿ⁺¹，2²ⁿ⁺¹），A_4n+3（-2²ⁿ⁺¹，-2²ⁿ⁺²），A_4n+4（2²ⁿ⁺²，-2²ⁿ⁺²）（n为自然数）”，依此规律结合2015=503×4+3即可找出点A₂₀₁₅的坐标．

解答 解：当x=1时，y=2，
∴点A₁的坐标为（1，2）；
当y=-x=2时，x=-2，
∴点A₂的坐标为（-2，2）；
同理可得：A₃（-2，-4），A₄（4，-4），A₅（4，8），A₆（-8，8），A₇（-8，-16），A₈（16，-16），A₉（16，32），…，
∴A_4n+1（2²ⁿ，2²ⁿ⁺¹），A_4n+2（-2²ⁿ⁺¹，2²ⁿ⁺¹），
A_4n+3（-2²ⁿ⁺¹，-2²ⁿ⁺²），A_4n+4（2²ⁿ⁺²，-2²ⁿ⁺²）（n为自然数）．
∵2015=503×4+3，
∴点A₂₀₁₅的坐标为（-2^503×2+1，-2^503×2+2），即（-2¹⁰⁰⁷，-2¹⁰⁰⁸）．
故答案为：（-2¹⁰⁰⁷，-2¹⁰⁰⁸）．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A_4n+1（2²ⁿ，2²ⁿ⁺¹），A_4n+2（-2²ⁿ⁺¹，2²ⁿ⁺¹），A_4n+3（-2²ⁿ⁺¹，-2²ⁿ⁺²），A_4n+4（2²ⁿ⁺²，-2²ⁿ⁺²）（n为自然数）”是解题的关键．