Question

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O顺时针方向旋转α度得到四边形OA´B´C´，此时直线OA´、直线B´C´分别与直线BC相交于P、Q．
（1）四边形OABC的形状是______，当α=90°时，的值是______．
（2）①如图2，当四边形OA´B´C´的顶点B´落在y轴正半轴时，则=______．
②如图3，当四边形OA´B´C´的顶点B´落在直线BC上时，则△OPB´的面积为______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据有一个角是直角的平行四边形进行判断当α=90°时，就是长与宽的比；
（2）①利用相似三角形求得CP的比，就可求得BP，PQ的值；
②根据勾股定理求得PB′的长，再根据三角形的面积公式进行计算．
解答：解：（1）四边形OABC的形状是矩形；根据题意即是矩形的长与宽的比，即 4：3．

（2）①∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，
∴△COP∽△A′OB′．
∴，即 ，
∴CP=，BP=BC-CP=．
同理△B′CQ∽△B′C′O，
∴，即 ，
∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．
∴==；
②在△OCP和△B′A′P中，，
∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．
∴OP=B′P．设B′P=x，
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，解得x=．
∴S_△OPB′=；
故填：矩形，，，．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．