题目内容

受今年春节的影响，在春节过后的2月份，食用油价格开始回落，某食用油批发商批发甲种品牌的食用油，每桶在2月份前四周每周的平均销售价格变化如下表：
周数x1234
价格y1（元/桶）60595857
进入3月份后，由于受生产食用油的原材料成本上涨等因素的影响，食用油的价格开始回升，该品牌食用油销售价格y2（元/桶）从3月份第1周的54元/桶，上升至第2周的57元/桶，且销售价格y2（元/桶）与周数x（x为整数）的变化情况满足二次函数：y2=-
1
4
x2+bx+c．
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出2月份y1与x的函数关系式；并求出3月份y2与x的函数关系式．
（2）若2月份该品牌的食用油进价m1（元/桶）与周数x满足函数关系为：m1=
1
3
x2-3x+50，
3月份该品牌的食用油进价m2（元/桶）与周数x满足函数关系为：m2=
7
2
x+
81
2
，试问在2月份和3月份中，哪月的哪一周销售一桶该品牌的食用油利润最大？最大利润是多少？
（3）在第（2）问的条件下，该批发商在3月份的第2周以该周的进价购入甲品牌食用油1200桶，准备在3月份第3周进行销售．在第3周以该周的销售价销售了3a%后，为了加快销售的进度，该批发商决定在原销售价格的基础上降价a%进行销售，这样顺利的完成了第三周销售1200桶的任务，且获利12000元，请你参考以下数据，估算出a的整数值（0＜a＜15）．
（参考数据：912=8281，922=8464，932=8649，942=8836）
考点：二次函数的应用
专题：应用题
分析：（1）根据表格数据，可得出y1与x的函数关系式；将点（1，54），（2，57）代入，可得出y2与x的函数关系式；
（2）分别得出二月份、三月份的利润表达式，然后利用配方法求出最值，继而比较可得出答案．
（3）根据题意，令x=2求出m2，令x=3求出y2，然后列出方程，解出a的值即可，注意考虑实际情况进行取舍．
解答：解：（1）二月份：根据表格可得：y1=-x+61；
三月份：
∵当x=1时，y=54；当x=2时，y=57，
∴
b+c-
1
4
=54
2b+c-1=57
，
解得：
b=
15
4
c=
101
2

故y2=-
1
4
x2+
15
4
x+
101
2
．
（2）设第x周的利润为w元，
二月份：w=y1-m1=（-x+61）-（
1
3
x2-3x+50）=-
1
3
x2+2x+11=-
1
3
（x-3）2+14，
∵-
1
3
＜0，
∴开口向下，
又∵对称轴是：直线x=3，
∴当x=3时，w最大=14；
三月份：w=y2-m2=-
1
4
x2+
15
4
x+
101
2
-（
7
2
x+
81
2
）=-
1
4
x2+
1
4
x=10=-
1
4
（x-
1
2
）2+
161
16

∵-
1
4
＜0，
∴开口向下，
又∵对称轴是：直线x=
1
2
，
∴当1≤x≤4时，w随x的增大而减小，
∴当x=1时，w最大=10，
∵14＞10，
∴二月份的第3周，利润最大，最大利润为14元/桶．
（3）在m2=
7
2
x+
81
2
中，令x=2，得：m2=
95
2
，
在y2=-
1
4
x2+
15
4
x+
101
2
中，令x=3，得：y2=
119
2
，
∴
119
2
×1200•3a%+
119
2
(1-a%)•1200•(1-3a%)-
95
2
×1200=12000，
令a%=m，则357m+119（1-m）（1-3m）=115，
整理得：357m2-119m+4=0，
△=8449≈922，
m1≈
119+92
714
≈0.295，
则a1≈30（不合题意，舍去），
m2≈
119-92
714
≈0.037，
则a2≈4，
故a的整数值为4．
点评：本题考查了二次函数的应用，题目所给信息量比较大，注意仔细审题，得到解题需要的信息，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度较大．
练习册系列答案
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如图，点A、点B分别在反比例函数y1=-
1
x
（x＜0）和y2=
k
x
（x＞0）的图象上，∠AOB恰好被y轴平分，若△OAB的面积为4，则k的值为
 
．
（1）(
-2x
3y
)2=
 
  
（2）(-
1
2
)-3=
 
  
（3）（π-6）0=
 
．
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选区 广西 西藏 新疆 宁夏 内蒙
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．
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．
计算
18
-
8
+
2
．
已知x2-1=-x，则x-
1
x
的值等于（　　）
A、0.382B、0.618
C、1D、-1

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