Question

25、如图1，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+6与x轴交于A，与y轴交于B，BC⊥AB交x轴于C．
①求△ABC的面积．
②如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边做等腰直角三角形BDE，连接EA．求直线EA的解析式．
③点E是y轴正半轴上一点，且∠OAE=30°，OF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，是判断是否存在这样的点M、N，使得OM+NM的值最小，若存在，请写出其最小值，并加以说明．

Answer 1

分析：①由已知y=x+6，可得出OA=OB=6，∠BAO=∠ABO=45°，再由BC⊥AB求出OC=OB=6，从而求得△ABC的面积．
②首先过E作EF⊥x轴于F延长EA交y轴于H，通过证三角形全等及等量代换先求出H点的坐标，有点斜式写出直线EA的解析式．
③由已知可在线段OA上任取一点N，又由OF是平分线，再在AE作关于OF的对称点N^′，当点N运动时，ON^′最短为点O到直线AE的距离．由已知∠OAE=30°，得直角三角形，OA=6，所以得OM+NM=3．

解答：解：①求△ABC的面积=36；
②过E作EF⊥x轴于F，延长EA交y轴于H．
易证：△OBD≌△FDE；得：DF=BO=AO，EF=OD；
∴AF=EF，∴∠EAF=45°，∴△AOH为等腰直角三角形．
∴OA=OH，∴H（0，-6）
∴直线EA的解析式为：y=-x-6；
③在线段OA上任取一点N，易知使OM+NM的值最小的是点O到点N关于直线AF对称点N’之间线段的长．当点N运动时，ON’最短为点O到直线AE的距离，即点O到直线AE的垂线段的长．∠OAE=30°，OA=6，所以OM+NM的值为3．

点评：此题考查的知识点是一次函数的应用及直角三角形的性质应用．关键是通过一次函数和直角三角形的性质求解．