Question

已知双曲线y=（x＞0），直线l₁：y﹣=k（x﹣）（k＜0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），直线l₂：y=﹣x+．

（1）若k=﹣1，求△OAB的面积S；

（2）若AB=，求k的值；

（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l₂上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则A，B两点间的距离为AB=）

 

Answer 1

解：（1）当k=1时，l₁：y=﹣x+2，

联立得，，化简得x²﹣2x+1=0，

解得：x₁=﹣1，x₂=+1，

设直线l₁与y轴交于点C，则C（0，2）．

S_△OAB=S_△AOC﹣S_△BOC=•2•（x₂﹣x₁）=2；

（2）根据题意得： 整理得：kx²+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），

∵△=[（1﹣k）]²﹣4×k×（﹣1）=2（1+k²）＞0，

∴x₁、x₂ 是方程的两根，

∴ ①，

∴AB==，

=，

=，

将①代入得，AB==（k＜0），

∴=，

整理得：2k²+5k+2=0，

解得：k=2，或 k=﹣；

（3）F（，），如图：

设P（x，），则M（﹣+，），

则PM=x+﹣==，

∵PF==，

∴PM=PF．

∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，

当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=﹣x+2，

由（1）知P（﹣1，+1），

∴当P（﹣1，+1）时，PM+PN最小值是2．