Question

如图，直线L₁经过原点，与双曲线y=

k

x

（x＞0）交于点B（1，2），点M为y正半轴上一点，过M作直线L₂∥x轴交L₁于P，交双曲线y=

k

x

（x＞0）于E．
（1）直接写出直线L₁与双曲线y=

k

x

（x＞0）的解析式；
（2）若E为PM中点，求点M坐标；
（3）在（2）的条件下，过P作PN⊥x轴于N，交双曲线y=

k

x

（x＞0）于F，判断点F是否为PN中点？若是求点F坐标，若不是，求PF与NF的比值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）设直线L₁的解析式为y=mx，把B（1，2）代入y=mx求出m，则可确定直线L₁的解析式为y=2x；然后把B（1，2）代入y=

k

x

求出k，从而确定反比例函数解析式为y=

2

x

；
（2）先设P点坐标为（a，2a），由于E为PM中点，PM⊥y轴，则E点坐标表示为（

1

2

a，2a），再把E（

1

2

a，2a）代入反比例函数解析式求出满足条件的a的值，于是可得到M点坐标为（0，2

2

）；
（3）先由（2）得P点坐标为（

2

，2

2

），再利用PN⊥x轴，得到PN=2

2

，且F点的横坐标为

2

，然后把x=

2

代入反比例函数解析式求出对应的函数值，则可确定F点的坐标为（

2

，

2

），所以FN=

2

，则PN=2FN，于是可判断F点为PN的中点．

解答：解：（1）设直线L₁的解析式为y=mx，
把B（1，2）代入y=mx得m=2，
∴直线L₁的解析式为y=2x，
把B（1，2）代入y=

k

x

得k=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y=

2

x

；
（2）由点P在直线y=2x上，可设P点坐标为（a，2a），
∵E为PM中点，PM⊥y轴，
∴E点坐标为（

1

2

a，2a），
把E（

1

2

a，2a）代入y=

2

x

得

1

2

a•2a=2，解得a=

2

或a=-

2

（舍去），
∴M点坐标为（0，2

2

）；
（3）F点为PN的中点．理由如下：
由（2）得P点坐标为（

2

，2

2

），
∵PN⊥x轴，
∴PN=2

2

，F点的横坐标为

2

，
把x=

2

代入y=

2

x

得y=

2

2

=

2

，
∴F点的坐标为（

2

，

2

），
∴FN=

2

，
∴PN=2FN，
∴F点为PN的中点．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式；会运用待定系数法确定一次函数和反比例函数解析式．