Question

【题目】如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．

（1）求∠AEG的度数；

（2）求证：四边形BEGF是平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）证明见解析．

【解析】

（1）由SAS证明△ABE≌△BCF得出AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，由平行线的性质得出∠CBF＝∠CEG，证出AE⊥EG，即可得出结论；

（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，则AP＝CE，∠EBP＝90°，证明△APE≌△ECG得出AE＝EG，证出EG＝BF，即可得出结论．

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，

∴∠ABE＝∠BCF＝90°，

在△ABE和△BCF中，

∴△ABE≌△BCF(SAS)，

∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，

∵EG∥BF，

∴∠CBF＝∠CEG，

∵∠BAE+∠BEA＝90°，

∴∠CEG+∠BEA＝90°，

∴AE⊥EG，

∴∠AEG的度数为90°；

（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示：

则AP＝CE，∠EBP＝90°，

∴∠P＝45°，

∵CG为正方形ABCD外角的平分线，

∴∠ECG＝45°，

∴∠P＝∠ECG，

由（1）得∠BAE＝∠CEG，

在△APE和△ECG中，

∴△APE≌△ECG(ASA)，

∴AE＝EG，

∵AE＝BF，

∴EG＝BF，

∵EG∥BF，

∴四边形BEGF是平行四边形．