题目内容

已知，如图所示，抛物线c₁：y=ax²+bx+c的顶点A在x轴的正半轴上，并与y轴交于点B，OA= $数学公式$ ，AB= $数学公式$ ，抛物线c₂与抛物线c₁关于y轴对称．
（1）求抛物线c₁的函数解析式，并直接写出抛物线c₂的函数解析式；
（2）设l是抛物线c₂的对称轴，P是l上的一点，求当△PAB的周长最小时点P的坐标；
（3）在抛物线c₁上是否存在点D，过点D作DC⊥AB于C，使得△DCB与△AOB相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵在Rt△OAB中OA= $\text{[math]}$ ，AB= $\text{[math]}$ ，
∴OB= $\text{[math]}$ ，
∴点A（ $\text{[math]}$ ，0），点B（0，3）．
则由 $\text{[math]}$ ，
解得：a=1，b= $\text{[math]}$ ，c=3，
∴C₁的解析式为：y=x²-2 $\text{[math]}$ x+3= $\text{[math]}$ ．
则点A关于y轴的对称点为（ $\text{[math]}$ ，0），
相当于C₁向左平移了2 $\text{[math]}$ 个单位，
∴C₂的解析式为： $\text{[math]}$ ；

（2）作BB′∥x轴交C₂于点B′则点B′即为点B关于l的对称点，连接AB′交l于点P即为所求点．
此时AB′即为△APB所形成三角形的最小周长．两点之间线段最短．

∵点A（ $\text{[math]}$ ，0），点B（0，3），
∴E（ $\text{[math]}$ ，0），
∴B′（-2 $\text{[math]}$ ，3），
则设直线AB′为y=kx+b，代入A，B′得： $\text{[math]}$ ．
解得：k= $\text{[math]}$ ，b=1，
∴直线AB′解析式为：y= $\text{[math]}$ ，
代入对称轴x=- $\text{[math]}$ ，则y=2，
∴点P（ $\text{[math]}$ ）；

（3）如图：存在，

知道点A，B设直线AB为y=mx+n，
代入解得：y=- $\text{[math]}$ x+3，即y+ $\text{[math]}$ ，
设点D（x， $\text{[math]}$ ），则BD= $\text{[math]}$ ，
则点D到直线的距离CD．
知道OA= $\text{[math]}$ ，OB=3，AB=2 $\text{[math]}$ ，
若△DCB与△AOB相似，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
代入 $\text{[math]}$ ，
则点D（1，4-2 $\text{[math]}$ ），
检验点D符合，
代入 $\text{[math]}$ ，
则点D（3，12-6 $\text{[math]}$ ），
检验符合，
∴点D（1，4-2 $\text{[math]}$ ）或（3，12-6 $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）在Rt△OAB中OA= $\text{[math]}$ ，AB= $\text{[math]}$ ，求得OB的长，从而根据OA，OB得到点A，D坐标，点A坐标即为其顶点坐标，从而得到C₁，C₂C₁关于原点对称，从而得到C₂的顶点坐标，即其对称轴，从而得到C₂解析式．
（2）作BB′∥x轴交C₂于点B′则点B′即为点B关于l的对称点，连接AB′交l于点P即为所求点．先求得直线AB′，代入对称轴l的x值，从而进一步求得点P．
（3）设点设点D（x， $\text{[math]}$ ），求得BD，求得直线AB，求得点D到直线AB的距离，若△DCB与△AOB相似，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，代入求得的等式是否是否符合，符合则点D存在．
点评：本题考查了二次函数的综合运用，涉及到知道抛物线上的点求其解析式，求抛物线的对称轴，以及抛物线的平移．