题目内容

己知二次函数 $数学公式$ （t＞1）的图象为抛物线C₁．
（1）求证：无论t取何值，抛物线C₁与y轴总有两个交点；
（2）已知抛物线C₁与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），将抛物线C₁作适当的平移，得抛物线C₂： $数学公式$ ，平移后A、B的对应点分别为D（m，n），E（m+2，n），求n的值．
（3）在（2）的条件下，将抛物线C₂位于直线DE下方的部分沿直线DE向上翻折后，连同C₂在DE上方的部分组成一个新图形，记为图形G，若直线 $数学公式$ （b＜3）与图形G有且只有两个公共点，请结合图象求b的取值范围．

解：（1）令y₁=0，得△=（-2t）²-4（2t-1）=4t²-8t+4=4（t-1）²，
∵t＞1，∴△=4（t-1）²＞0，
∴无论t取何值，方程x²-2tx+（2t-1）=0总有两个不相等的实数根，
∴无论t取何值，抛物线C₁与y轴总有两个交点．

（2）解方程x²-2tx+（2t-1）=0得，x₁=1，x₂=2t-1，
∵t＞1，∴2t-1＞1．得A（1，0），B（2t-1，0），
∵D（m，n），E（m+2，n），∴DE=AB=2，
即2t-1-1=2，解得t=2．
∴二次函数为 $\text{[math]}$ ，
显然将抛物线C₁向上平移1个单位可得抛物线C₂： $\text{[math]}$ ，
故n=1．

（3）由（2）得抛物线C₂： $\text{[math]}$ ，D（1，1），E（3，1），

翻折后，顶点F（2，0）的对应点为F'（2，2），
如图，当直线 $\text{[math]}$ 经过点D（1，1）时，记为l₁，
此时 $\text{[math]}$ ，图形G与l₁只有一个公共点；
当直线 $\text{[math]}$ 经过点E（3，1）时，记为l₂，此时 $\text{[math]}$ ，图形G与l₂有三个公共点；
当b＜3时，由图象可知，只有当直线l： $\text{[math]}$ 位于l₁与l₂之间时，图形G与直线l有且只有两个公共点，
∴符合题意的b的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求出b²-4ac的值，根据根的判别式为正数即可得到答案；
（2）首先用含有t的字母表示出点A与点B的坐标，然后根据点D和点E的坐标得到DE=AB=2，从而求得t值，配方后利用平移规律得到平移个数即可；
（3）分三种情况讨论后即可求得变量t的取值范围．
点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，解一元二次方程，平移的性质等知识点的理解和掌握，能根据性质进行推理是解此题的关键．