题目内容
如图1所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD，M、N分别为BE、CD的中点．
（1）判断△AMN的形状，请说明理由．
（2）将图2中的△ADE绕A旋转，条件不变，在旋转过程中，△AMN的形状是否发生变化？根据图2中点D的位置画出旋转后的图形，并判断此时△AMN的形状（直接写出结论，不需要证明）
解：（1）△AMN是等腰三角形
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD．
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD，∠ABE=∠ACD
∴
BE=CD．
∵M、N分别为BE、CD的中点．
∴BM=BE，CN=CD．
∴BM=CN．
在△AMB和△ANC中，
，
∴△AMB≌△ANC（SAS），
∴AM=AN，
∴△AMN是等腰三角形；
（2）△AMN是等腰三角形．
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD．，∠ABE=∠ACD
∴BE=CD．
∵M、N分别为BE、CD的中点．
∴BM=BE，CN=CD．
∴BM=CN．
在△AMB和△ANC中，
，
∴△AMB≌△ANC（SAS），
∴AM=AN，
∴△AMN是等腰三角形．
分析：（1）如图1，先根据条件得出∠BAE=∠CAD，就可以得出△BAE≌△CAD就可以得出∠ABE=∠ACD，BE=CD，由中点的性质就可以得出△AMB≌△ANC就可以得出MA=NA就可以得出结论；
（2）如图2，先根据条件就可以得出△BAE≌△CAD就可以得出∠ABE=∠ACD，BE=CD，由中点的性质就可以得出△AMB≌△ANC就可以得出MA=NA就可以得出结论．
点评：本题考查了等腰三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD．
在△BAE和△CAD中，
，∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD，∠ABE=∠ACD
∴
BE=CD．∵M、N分别为BE、CD的中点．
∴BM=
BE，CN=CD．∴BM=CN．
在△AMB和△ANC中，
，∴△AMB≌△ANC（SAS），
∴AM=AN，
∴△AMN是等腰三角形；
（2）△AMN是等腰三角形．
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD．，∠ABE=∠ACD
∴
BE=CD．∵M、N分别为BE、CD的中点．
∴BM=
BE，CN=CD．∴BM=CN．
在△AMB和△ANC中，
，∴△AMB≌△ANC（SAS），
∴AM=AN，
∴△AMN是等腰三角形．
分析：（1）如图1，先根据条件得出∠BAE=∠CAD，就可以得出△BAE≌△CAD就可以得出∠ABE=∠ACD，BE=CD，由中点的性质就可以得出△AMB≌△ANC就可以得出MA=NA就可以得出结论；
（2）如图2，先根据条件就可以得出△BAE≌△CAD就可以得出∠ABE=∠ACD，BE=CD，由中点的性质就可以得出△AMB≌△ANC就可以得出MA=NA就可以得出结论．
点评：本题考查了等腰三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
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