Question

在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（﹣3，0），B（0，﹣3）两点，二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A．

（1）求一次函数y=kx+b的解析式；

（2）若二次函数y=x²+mx+n图象的顶点在直线AB上，求m，n的值；

（3）当﹣3≤x≤0时，二次函数y=x²+mx+n的最小值为﹣4，求m，n的值．

Answer 1

解：（1）A（﹣3，0），B（0，﹣3）代入y=kx+b得

，解得，

∴一次函数y=kx+b的解析式为：y=﹣x﹣3；

（2）二次函数y=x²+mx+n图象的顶点为（﹣，）

∵顶点在直线AB上，

∴=﹣3，

又∵二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），

∴9﹣3m+n=0，

∴组成方程组为

解得或．

（3）∵二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A．

∴9﹣3m+n=0，

∵当﹣3≤x≤0时，二次函数y=x²+mx+n的最小值为﹣4，

①如图1，当对称轴﹣3＜﹣＜0时

最小值为=﹣4，与9﹣3m+n=0，组成程组为

解得或（由﹣3＜﹣＜0知不符合题意舍去）

所以．

②如图2，当对称轴﹣＞0时，在﹣3≤x≤0时，x为0时有最小值为﹣4，

把（0，﹣4）代入y=x²+mx+n得n=﹣4，

把n=﹣4代入与9﹣3m+n=0，得m=．

∵﹣＞0，

∴m＜﹣2，

∴此种情况不成立，

③当对称轴﹣=0时，y=x²+mx+n的最小值为﹣4，

把（0，﹣4）代入y=x²+mx+n得n=﹣4，

把n=﹣4代入与9﹣3m+n=0，得m=．

∵﹣=0，

∴m=0，

∴此种情况不成立，

综上所述m=2，n=﹣3．